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Willkommen!
Wie angekündigt haben wir uns spontan dazu entschieden, Mathematik als zusätzliche Kategorie in der Bisaboard Olympiade einzuführen. Die Aufgaben der ersten Runde der bisalympischen Spiele 2015 stehen fest und können diesem Thema entnommen werden, wobei wir darauf geachtet haben, auch andere Naturwissenschaften in der Aufgabenstellung einzubeziehen. Bitte beachtet, dass alle zur Führung des Beweises benötigten Aussagen entweder aus der Schule bekannt sein müssen, oder einen Namen besitzen müssen, mittels dessen sie identifiziert werden können (Beispiel: Lemma von Carathéodory). Solltet ihr eine andere euch bekannte, bereits bewiesene Aussage verwenden wollen, so bitte ich um einen Verweis auf einen mathematisch einwandfreien Beweis derselben. Weiterhin sind auch Methoden der Informatik und Physik zugelassen, sofern sie nachweislich zu einem exakten Ergebnis führen.
Für die untenstehenden Aufgaben gibt es jeweils einen Punkt für die richtige Lösung und bis zu drei Punkte für den Lösungsweg; es müssen jedoch nur drei der vier Aufgaben bearbeitet werden, wobei im Fall von vier Einsendungen die drei besten gewertet werden. Das Team, das jeweils mehr Punkte erhalten hat, bekommt in der Kategorie "Mathematik" den Punkt zugesprochen. Die Lösungen der Aufgaben sind bis zum Rundenende, also dem 10. April per Konversation mindestens an mich, besser aber an das gesamte Organisationsteam zu senden. Das Bevorzugte Abgabemedium ist ein mittels LaTeX erstelltes PDF, akzeptiert werden aber auch gängige Textverarbeitungsprogramme wie Word oder OpenOffice.
Aufgabe 1
Bisasam hat ein neues Hobby gefunden: Es baut Körpertürme (nicht zu verwechseln mit den Türmen von Bisahausen). Dafür adjungiert es die Quadratwurzel aus 2 und die Quadratwurzel aus 40126 (nicht zu verwechseln mit der Großwurzel) an den Körper der Rationalen Zahlen. Bestimme die Galois-Gruppe der so entstandenen Körpererweiterung.
Aufgabe 2
Taubsi setzt Windstoß ein. Dabei entsteht innerhalb eines Zylinders mit dem Einheitskreis von einem Meter Radius als Grundfläche und der Höhe von zwei Metern eine Windhose, in der die Windgeschwindigkeit in m/s durch das folgende Vektorfeld für alle Punkte {(x, y, z) | (x =/= 0) v (y =/= 0)} beschrieben werden kann (im Zentrum selbst herrscht Windstille):
Berechne die ungerichtete Gesamtenergie in Joule, die in der Windhose enthalten ist unter der Annahme, dass die bewegte Luft eine Dichte von 1,2 kg/m³ besitzt.
Aufgabe 3
Professor Eich hat eine Ladung an Starterpokemon erhalten, welche zu jeweils einem Drittel aus Bisasam, Glumanda und Schiggy besteht. Er wählt aus dem Korb zufällig neun Pokebälle aus und legt diese nebeneinander, wobei wir annehmen, dass die Anzahl an Pokemon im Korb zu groß ist, als dass das Herausnehmen eines Balles einen Unterschied bei der Wahrscheinlichkeit für das Ziehen weiterer Pokemon machen würde. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass unter Beachtung der Reihenfolge die Sequenz
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kein einziges Mal vorkommt.
Nachtrag: Um stupides Durchprobieren zu verhindern, sind bei der Lösung dieser Aufgabe lediglich Programme mit einer Komplexität von maximal n³ in Abhängigkeit von der Anzahl der Pokebälle, die Professor Eich nebeneinander legt, erlaubt.
Aufgabe 4
Porygon sucht auf Anordnung von Team Rocket nach einem endlichen Körper, in dem alle nichtkonstanten Polynome wenigstens eine Nullstelle haben. Beweise, dass es dabei niemals fündig werden wird und dass dieser Auftrag deshalb gegen Paragraph acht des Vertaniaer Abkommens zum Schutz der Pokemon verstößt.